期权定价问题的有限元Richardson外推法

图示

德国布隆斯威克人。德国的数学家、物理学家和天文学家。高斯幼年时就显示出非凡的数学才能，得到Carl Wil-helm Ferdinand大公的赏识。在大公的支持下，1795—1798年在哥廷根(Gottingen)大学学习，1799年因证明代数学的基本定理而获得哈勒(Halle)大学的博士学位。从1807年到1855年逝世，一直担任哥廷根天文台台长兼大学教授。1796年用直尺圆规作出了正十七边形一自欧几里得以来两千年间几何作图的一个难题。接着又证明了数论中的欧勒猜想—二次互反律。据说从此后他决心放弃古典文学而献身于数学。1801年用自己的行星轨道计称法和最小二乘法算出了意大利天文学家皮亚齐 (1746—1826) 发现的谷神星轨道; 谷神星的轨道计算使他一举名震世界。同年，出版经典著作《算术研究》，任职期间，高斯致力于数论、代数、几何、分析、复变函数、统计数学等多方面的研究、取得了一系列的成果。高斯定理、高斯公式、高斯函数等以他命名的多种发现至今仍在许多数学、科学部门中闪烁着光辉。高斯还涉足了大地测量工作。为了进行长距离测量，发明了“目光反射器”，并在理论上创造了“大地问题解法”，导致他开创了曲面微分几何的理论。并由他的学生黎曼发展为黎曼几何。与德国的物理学家韦伯(wilhelm Eduavd Weber，1804—1891)一道建立了电磁学中的高斯单位制; 1833年还和韦伯一起发明了电磁电极。高斯的治学态度十分严谨。他的格言是 “瑰丽的大厦建成后，应拆除杂乱无章的脚手架。” 因此他发表的每篇著作都是经过仔细推敲、无懈可击的精品。因此，发表的论文比研究工作要少得多，但研究项目可在日记和书信中见到。全集包括日记、书信共计12卷。他是19世纪前半世纪最伟大的数学家。 [4]

蒙特·卡罗（Monte Carlo）法求定积分

MATLAB工作区图示蒙特-卡罗方法

从上述结果我们可以看到，所得积分结果为 I=2.0075 ，可见其与真值 2 还是十分接近的。如果我们将 N 取得更大一些，所得结果可以更加逼近真值，比如我们取 N=10^6 将得到

N = 1e6 时的图形

我们容易知道这个定积分的值为 4 。但是采用蒙特·卡罗方法将得到

图示

此时的随机数数量已经取为 N=10^5 了，所得结果与真值仍然存在很大的差距，检查代码并结合上述图形发现计算过程应该没有问题，我也不知道问题出在哪里，希望广大知友能过指出错误之处，谢谢！

外推原理和Romberg求积法.ppt

第三章数值积分与数值微分 3.3 期权定价问题的有限元Richardson外推法外推原理与Romberg求积法 3.3.2 Romberg 求积法 3.3.1 外推原理 3.3 外推原理与Romberg求积法学习目标：理解外推原理，会运用Romberg求积法。在科学与工程计算中，很多算法与步长h有关，特别是数值积分、数值微分和微分方程数值解的问题。对于这些算法，我们可以通过外推技巧提高计算精度。先看一个计算π的近似值的例子，由函数sinx的Taylor展开式有若记则有 3.3.1 外推原理 3.3 外推原理与Romberg求积法由此构造新的表达式：可见，计算π的近似值的算法F(h)的截断误差是，而算法的截断误差是。外推一次，精度提高了。这就是外推法的基本思想。若重复以上过程，不断外推，即不断折半步长h，得到计算π的算法序列。随着k的增加，算法的截断误差越来越高，计算精度越来越好。可将外推思想推广到一般情况。设F(h) 是计算F(0)的一种近似算式，带截断误差的表示式为其中，与p无关。如果我们用h和h/q（q>1）两种步长分别计算F(h)和(h/q)，则有消去截断误差的主项，得新的算法我们称这个过程为Richardson外推法。这里, 逼近F(0)的截断误差是。只要知道 F(h)的更加完整的关于h幕的展开式，而无需知道展开式中各个系数的具体数值，就能重复使用Richardson 外推法，直到截断误差达到容许误差。用归纳法可以证明下面更一般的定理。定理 3.4 假设F(h)逼近F(0)的余项为其中，是与h 无关的非零常数，则由（3.3.1）定义的序列有其中与h无关，q>1。 Richardon外推法应用非常广泛和有效,下面应用于数值积分. 3.3.2 Romberg 求积法先给出Romberg求积法的基础,即对于计算积分I=I[f]的复化梯形公式T(h),其余项为 (3.3.2) 其中, 为Bernoulli常数。在外推算法（3.3.1）中，取由余项（3.3.2）可得著名的 Romberg求积方法：其中，表示将积分区间[a,b]作等分相应的的复化梯形公式，求和项包括了每次等份后新增加点上的函数值。表示第m次外推所得的计算值。可以验证，m=1时，所得外推值就是复化Simpson 公式的计算值。对给定的精确标准ε，我们可由作为计算终止的标准。表3-3给出了计算过程，i表示第i步计算。

理查森外推[法]

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