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9月24日下午，研究生院受党委教师工作部委托，面向2020年9月以后入校的新教师和专职科研人员开展了一场题为《学高为师 身正为范 努力成为学生成才成长的引路人》的始业教育专题培训会。会议在紫金港校.
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黎曼几何与流形学习
黎曼流形是一个微分流形，其中每点p的切空间都定义了点积，而且其数值随p平滑地改变。它容许我们定义弧线长度、角度、面积、体积、曲率、函数梯度及向量域的散度。
每个 R_n 的平滑子流形可以导出黎曼度量：把 R_n 的点积都限制于切空间内。实际上，根据纳什嵌入定理，所有黎曼流形都可以这样产生。
我们可以定义黎曼流形为和 R_n 基于RSI与BB的股票趋势分析 的平滑子流形是等距同构的度量空间，等距是指其内蕴度量（intrinsic metric）和上述从 R_n 导出的度量是相同的。这对建立黎曼几何是很有用的。
黎曼流形可以定义为平滑流形，其中给出了一个切丛的正定二次形的光滑截面。它可产生度量空间：
如果 \gamma : [a, b] → M是黎曼流形M中一段连续可微分的弧线，我们可以定义它的长度 L(\gamma) 为
\\L(\gamma) = \int_^\left| \gamma'(t) \right|dt
（注意： \gamma'(t) 是切空间M在 \gamma'(t) 点的元素；|·|是切空间的内积所得出的范数。）
使用这个长度的定义，每个连通的黎曼流形M很自然的成为一个度量空间（甚至是长度度量空间）：在x与y两点之间的距离d（x, y）定义为：
d(x,y) =inf< L(\gamma) : \gamma 是连接x和y的一条光滑曲线>。
虽然黎曼流形通常是弯曲的，“直线”的概念依然存在：那就是测地线。
在黎曼流形中，测地线完备的概念，和拓扑完备及度量完备是等价的：每个完备性都可以推出其他的完备性，这就是Hopf-Rinow定理的内容。 [1]
1.3.1 Stiefel流形
把一组尺寸为 d\times q 的矩阵表示为： R^ ，其是一个向量空间，同时该空间具有一个线性流形结构，可表示为： \varphi：R^ < d\times q>\rightarrow R^:Y\rightarrow vec(Y) ，其中 vec(Y) 表示将Y的所有列堆叠在一起而得到的向量，通过在该线性流形中利用元素的内积，就可以把流形映射到一个欧式空间：
同样的，用 R_<\phi>^ (q\leq d) 表示一组尺寸都为 d\times q 且所有列都是线性无关的矩阵，相对于 R^ ， R_<\phi>^ (q\leq d) 则是其的一个开集，且 X\in R^ :det(Y_Y)=0 。很显然，由 R_<\phi>^ 所张成的空间是关于 R^ 的一个开子流形。其微分结构可以表示为： \varphi：R_\varphi ^ \rightarrow R^:X \rightarrow vec(X) 。对于 R_<\phi>^ 中的任一元素，其所有的列都是正交基向量，因此可得：
其中 I_q 是一个 q\times q 的单位矩阵，我们把 St(q, d) 叫做Stiefel流形。
1.3.2 Grassmann流形
令 Grass(q,d) 表示一组q维的子控件，其中 q\leq d , Stirefel流形是由一组尺寸为 d\times q 的列满秩矩阵构成的，用 \sim 表示 R_<\phi>^ 上的一个等价关系：
\\ Y_i \sim Y_j \Leftrightarrow span(Y_i) =span(Y_j)
其中，span(Y)表示由 Y\in R_\varphi ^ 的所有列张成的子空间。
令 Symx_<\phi>^ 表示 d\times d 的对称正定矩阵所处的空间，对任意两个处于其上的数据 C_, C_ \in Symx_<\phi>^ ,他们的对数积可表示为:
\\ C_ \odot C_ ：=exp(log(C_) + log(C_))
(Symx_<\phi>^, \odot) 是一个群。同时，对于任意两个SPD矩阵，它们之间对数积等价于两个矩阵的积。而且该积是可交换的。因为，任意两个SPD矩阵的乘积是通过在矩阵的对数中定义加法操作而完成的，因此其满足关联性和交换性。当 [C_\cdot C_] =0 时：
\\ exp(log(C_) + log(C_)) = exp(log(C_) \cdot log(C_)) = C_\cdot C_
Symx_<\phi>^ 中的对数积 \odot 与平滑的流形结构是相互兼容的，因此，在 Symx_<\phi>^ 中通过利用 \odot 操作可以构建一个交替的李群结构，这里 Symx_<\phi>^ 就是一个李群，即SPD流形。
1.4 黎曼度量（Metric tensor）
2、背景介绍
假设观测数据是均匀采样与高维欧式空间的低维流形，流形学习就是从高维观测数据中发现低维流形结构，并给出从高维空间到低维嵌入的映射。其主要目的就是从期望寻找产生数据集的内在规律性，即从观测数据中寻找数据本质特征，从统计角度看，流形学习是试图去除更多的先验假设，如属性间的相互独立、近正态分布等等，而去完成在一般意义下针对数据集的各项任务。
从模式识别的角度来看，主要存在以下两个问题：
- 如何由现有数据中提取高效、信息丰富的特征；
- 如何针对识别的任务设计合理有效的分类算法或是任务。
3、流形学习算法
传统的降维算法主要包括PCA, LDA, ICA, FA等，他们主要研究在高维空间中如何设计线性模型的特征向量，优点是运算简便面具有解析的映射函数，但是在现实生活中高维数据大多是非线性的，线性方法很难挖掘高维数据的几何结构和相关性，揭示其流形分布。针对高维数据的非线性特征，近年来发展了很多非线性的降维方法，包括子控件方法、神经网络法、遗传算法以及流型学习等。
流形学习的思考
流形学习的优点是在认知、机器学习方面都有很好的可解释性，但是摩尔定律和深度学习的出现对很多领域的方法的冲击是颠覆性的，以至于大家在构建模型时，更多的是关心性能与表现。所以，无论是学术界还是产业界都把精力放到如何优化深度学习模型的结构和参数优化方面，而端到端的建模方式也使我们不再聚焦特征空间内部究竟发生了什么 [3] 。但是流形学习与深度学习、机器学习的结合，依然是个研究热点。
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